Abstracto

Durante los últimos 200 años las matemáticas han sufrido una transformación radical. Sin embargo, el contenido de las matemáticas que se enseñan en los grados elementales ha permanecido virtuálmente intacto, causando una gran discrepancia entre las matemáticas académicas y las de la vida diaria

1. Educación matemática en los años tempranos, 1800-2000.

Muchos de los libros de matemáticas usados con propósitos educativos comenzaron a hacer su aparición en los Estados Unidos de América, alrededor de 1800 (Sterry, 1790; Pike, 1806; Adams, 1808; Daboll, 1812; Hawney, 1813).  Dichos libros contenían el material matemático usado en la educación aritmética vocacional del siglo dieciocho, fundamentálmente usada por mercaderes, tenderos, artistas y artesanos.

El contenido de tales libros se hallaba basado en diversos conceptos de los números: números enteros, fracciones comunes enseñadas como partes de un (fracturado) todo, fracciones decimales y una variedad de números compuestos y denominadores. Los propósitos principales eran los de desarrollar destreza en la ejecución de algoritmos escritos, así como la enseñanza de diversas aplicaciones. Así, esos libros estaban dirigidos a maestros/as y la mayor parte de aprendizaje ocurría durante un entrenamiento, cuando una persona estaba aprendiendo uns profesión.

Los aspectos deductivos de las matemáticas se hallaban ausentes. La aritmética mental, con excepción de la memorización de tablas, era prácticamente nula. Durante ese tiempo, ni en Europa ni en las Américas se usaba el cáculo con los dedos ó con el ábaco. Iguálmente, la regla deslizante, comúnmente utilizada por artistas y artesanos, era ráramente descrita de forma impresa, y ésta nunca se convirtió en una herramienta a utilizar en los grados elementales. Por lo tanto, aritmética significaba la ejecución con papel y lápiz (ó tabla y pizarra) de unos pocos y selectos algoritmos.

Como componente de la educación escolar, la aritmética carecía de aplicaciones directas, porque no preparaba a los estudiantes para ninguna profesión específica. Por otro lado, existía un movimiento inclinado a enseñar aritmética a niños muy jóvenes y carentes de una educación básica. Para enseñar a tales niños se necesitaban ciertos ajustes, y éstos vinieron a través de las sugerencias del educador suizo Johann Pestalozzi (1746-1827), más tarde popularizadas en los Estados Unidos de América por Warren Colburn (1793-1833). Básicamente, éstas consistían en la explicación de los significados de operaciones matemáticas en términos de manipulación de objetos físicos, así como del creciente papel que desempeñaba el contar, extendiendo el aprendizaje a lo largo de varios años, progresando, léntamente, hacia ejemplos de mayor complejidad (e.g., ver Colburn, 1826). Todo ésto condujo al reconocimiento oficial del “modelo espiral de enseñanza” prevalente hoy en día.

Comparado a casi cualquier otro terreno de aprendizaje, la aritmética elemental estaba dominada por simple repetición, y de aquí que hubo muchos intentos de justificar su existencia. Parece ser que, sólo por un breve período de tiempo, durante el desarrollo de una clase trabajadora de “cuello blanco,” alrededor de fines del siglo diecinueve, las artes de las cifras y la caligrafía eran cualificaciones suficientes para obtener un trabajo bien remunerado. La principal justificación para aprender matemáticas, la cual es aún muy común hoy en día, era que el aprendizaje de cualquier tipo de matemática, incluso el más absurdo y carente de sentido, desarrolla la habilidad mental del niño/a. Por lo tanto, incluso si te aburren y no te gustan, ¡éstas son buenas para ti!

Un intento para hacer las matemáticas más interesantes comenzó temprano, y nunca ha sido parado, aunque su éxito haya sido minima. Éste ha consistido en incluir interesantes ilustraciones, actividades y juegos, que se consideraba harían el aprendizaje casual y atractivo. En los años sesenta, se desarrolló una nueva idea: Ésta intentaba hacer el aprendizaje aritmético “divertido.” Entre otras cosas, ésto condujo a un notable incremento en el número de páginas en los libros de texto, sin que se incrementase el contenido matemático, pero con la inclusión de un vasto número de material irrelevante. (Para un análisis reciente ver Meyer, Sims y Tajika (1995).)

Han habido varios intentos más de revisar el material curricular matemático. La mayor parte de ellos se han dirigido, básicamente, a los grados superiores, mientras que su influencia práctica en las escuelas elementales ha sido mímina. El más serio de tales intentos, el cual se halla en boga actuálmente, fue iniciado por el National Council of Teachers of Mathematics (1989). Éste establece que se han de desenfatizar las habilidades artiméticas, mientras que, en su lugar, los niños/as han de aprender “métodos generales para la solución de problemas,” los cuales son suficientes en una sociedad tecnológicamente avanzada. Tal aproche pedagógico está hallando una creciente oposición por parte de los “tradicionalistas” quienes desean una “vuelta a lo básico.” “Vuelta a lo básico” que reálmente significa “vuelta a los métodos y al contenido enseñado durante el siglo veinte, durante el período de entre las décadas de los treinta a los cuarenta” (Hirsch, 1993; 1996).

2. Cambios en la aritmética entre los años 1800 y 2000.

Han habido tres cambios radicales que han modificado nuestra visión de los sistemas numéricos, tanto desde un punto de vista teórico como práctico, los cuales han cambiado el uso de la aritmética en la industria, las finanzas, la ciencia y la sociedad en general. Éstos son: (a) la unificación de los sistemas aritméticos, (b) la algebratización, y (c) la automatización de los algoritmos aritméticos.

(a) Unificación de sistemas aritméticos.

Hoy en día, una variedad de números se hallan al cobijo del paraguas que abarca el concepto de los números reales. Los números reales incluyen los números negativos, los irracionales y los transcendentes. Éstos fueros anteriórmente tratados como diferentes “cantidades” que se estudiaban en álgebra. La teoría de los números reales provee de una base consistente y uniforme para todos los cálculos financieros, técnicos y científicos. Iguálmente, esta unificación provee de una base para muchas otras teorías matemáticas con importantes aplicaciones, tales como, por ejemplo, el cálculo, la teoría de las probabilidades y la estadística. En algunas aplicaciones más avanzadas (tales como la física), el sistema de los números reales se extiende incluso más allá, abarcando las artiméticas de los números complejos y de las matrices.

(b) Algebratización de la aritmética.

La introducción de la álgebra moderna (e.g., Birkhoff, MacLane, 1979), y la axiomatización de muchos aspectos importantes de las matemáticas (Hilbert, 1956; Hilbert & Ackermann, 1946), rompieron la barrera existente entre el álgebra y la aritmética. La aserción de que “En aritmética, realizamos los cálculos numéricos con números, pero en álgebra usamos letras,” carece de valor en la actualidad. Las variables, a las que se denominaba como “letras” anteriórmente, y a las que con frecuencia aún se califica como “incógnitas” forman, en el presente, una parte integral de la aritmética, estas juegan un papel crucial, tanto en el estudio del sistema de los números reales, como en el diseño y ejecución de algoritmos numéricos.

(c) Automatización de los algoritmos aritméticos.

Durante la segunda mitad del siglo veinte, los cálculos aritméticos, y, más generálmente, el procesamiento de otros datos se automatizó. Para tener una idea más clara de la magnitud de este cambio, recordemos que un ordenador común realiza operaciones aritméticas 100.000.000 veces más rápido que el más ágil cerebro humano. Además, el ordenador no comete errores y no se cansa. Dicha “revolución” en el procesamiento informático tiene dos fuentes. La primera se halla en la moderna introspección en la estructura de los algoritmos en general. Una nueva teoría matématica, la teoría de los algoritmos (Knuth (1973), Cormen, Leiserson, & Rivest (1990)), se aproxima en importancia práctica a la de la aritmética, la geometría, el cáculo y la estadística. La segunda fuente es la tecnología, la cual ha producido herramientas baratas y convenientes que permiten la ejecución de algoritmos.

De hecho, esta automatización ha incrementado el papel desempeñado por la aritmética. Hay muchos problemas que, aunque se pueden resolver mediante métodos matemáticos, requieren miles, ó incluso millones, de operaciones aritméticas. Tales problemas, los cuales se hallaba fuera de alcance hace cien años, resultan ahora fáciles de resolver. De igual modo, el papel de la persona que realiza cálculos aritméticos, es bien distinta hoy en día. En tiempos pasados, la tarea más importante era la de calcular. Sin embargo hoy en día, debido a la automatización de las calculaciones, la tarea fundamental es la de la programación.