|d(P, F1) - d(P, F2)| = c.

Una elipse que no sea circular es una curva situada en un plano, la cual también está determinada por dos puntos distintos, F1 y F2, llamados focos, y un número real c, tal que d(F1, F2) < c. éste consiste de todos los puntos P tales que

|d(P, F1) + d(P, F2)| = c.

Si mantenemos el valor de c constante, pero desplazamos F2 hacia F1, hasta que éstos coincidan, las elipses convergerán en un círculo cuyo centro será F1 y su radio c/2. ésta es una de las razones por las que el círculo se considera un caso especial de elipse.

Estas propiedades le permiten dibujar elipses e hipérbolas con considerable precisión, como abajo se muestra.

---

Actividad
Materiales: Cada estudiante necesitará una hoja de papel en blanco de 8 1/2 por 11 pulgadas, un trozo de cartulina del mismo tamaño que el papel (la cubierta posterior de los cuadernos de papel legal sirven para esta función), sujetapapeles, compás de calidad, regla, curvas Francesas (opcionales) y rotuladores de colores.

Tarea 1: Construyendo una rejilla formada por círculos.
Dibuje una línea recta, dividiendo su papel en dos rectángulos de 4 1/4 por 11 pulgadas. Ahora dibuje puntos a lo largo de tal línea, separados un centímetro entre sí (o cualquiera otra unidad de su elección). (Unidades menores nos ofrecen mayor precisión, aunque su uso requiere una tarea más laboriosa.) Numere los puntos, como se muestra en la figura abajo. Elija ahora dos puntos de entre sus focos; por ejemplo, en la figura inferior hemos escogido los puntos n° 8 y n° 19, como nuestros dos puntos focales. Junte ahora su hoja de papel con su cartulina, usando un sujetapapeles.


Usando un buén compás, dibuje dos grupos de círculos cuyos centros estén situados en F1 y en F2, y que posean radios iguales a los números enteros de su unidad: 1, 2, 3, ... Aquí se muestra una figura con el aspecto que éstos han de tener. Estos círculos forman una rejilla con celdillas de cuatro lados, siendo estos lados no líneas rectas, sino más bien segmentos circulares.

Note asimismo que las cuatro celdillas se cruzan en cada punto, incluyendo los puntos en los que comenzó, con sólo dos excepciones: las dos celdillas que se cruzan en F1 y en F2.

Tarea 2: Dibujando hipérbolas y elipses
En cada celdilla, los puntos de una diagonal, sea AD ó BC, se hallan en las mismas hipérbolas, con focos  F1 y F2, mientras que los puntos de las otras diagonales se hallan en las mismas elipses (con focos F1 y F2). No obstante, de nuevo hallamos aquí dos excepciones: los puntos situados en la línea que va de F1 a F2, así como una línea perpendicular a ella, yacen en líneas rectas, pero éstos no forman parte ni de una hipérbola ni de una elipse con focos F1 y F2.

Prueba.

Si tenemos AC y BD situados en dos círculos consecutivos, con el centro en F1, y estando AB y CD situados en dos círculos consecutivos con centro en F2.

Si d(F1, D) = r1 y d(F2) = r2, entonces

d(F1, B) = r1, d(F1, C) = d(F1, A) = r1 + 1 , y

d(F2, C) = r2, d(F2, B) = d(F2, A) = r2 + 1.

Por Tanto,

d(F1, B) + d(F2, B) = d(F1, C) + d(F2, C) = r1 + r2 + 1

|d(F1, A) - d(F2, A)| = |d(F1, A) - d(F2, A)| = |r1 - r2|

Existe una excepción cuando

c = r1 + r2 + 1 = d(F1, F2),

y también cuando

c = |r1 - r2| = 0. Los estudiantes habrán de concluir sus tareas con el dibujo cuidadoso de varias hipérbolas y de varias elipses, bien trazándolas a mano libre, o usando una curva Francesa. Por supuesto, los estudiantes pueden colorearlas en la forma en que deseen, creando así bellas piezas de arte. Aquí se muestra un ejemplo de cómo dibujar elipses en esta rejilla (haga clic en la imagen para verla en su tamaño completo):