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Razonando por analogía: Cortando poliedros

Nuestro conocimiento intuitivo del espacio que nos rodea es muy pobre. Con frecuencia no podemos responder a preguntas simples, acerca de objetos familiares, sin mirarlos y tocarlos. La presente unidad debería enseñarse a los/las estudiantes una vez que éstos hayan hecho cubos, tetraedros y octaedros de cartulina (bien en forma esquelética o sólida) y sepan, por lo tanto, sus propiedades básicas. Se les facilitará dichas figuras sólidas con la presente lección.

Primera observación.

Si dividimos un cuadrado mediante un corte longitudinal a través de la mitad de su altura y otro a la mitad de su anchura, con dos líneas rectas paralelas a sus lados, obtendremos 4 cuadrados menores, cada uno con un área igual a 1/4 del área del cuadrado original.

Figura 1

Segunda observación.

Si dividimos un triángulo equilátero, a través de cortarlo por una de la mitad de sus alturas, con tres líneas paralelas a sus lados, obtendremos 4 triángulos menores, cada uno con un área igual a 1/4 del área del triángulo original.

Figura 2.

Tercera observación.

Si dividimos un cubo mediante un corte por la mitad de su longitud, de su anchura y de su altura, con tres planos paralelos a sus caras, obtendremos 8 cubos menores, cada uno con un volumen igual a 1/8 del volumen del cubo original.

	Cubo original
	Cubo con tres planos amarillos, pasando a través de los puntos medios de cada lado. Cada plano es paralelo a dos de las caras.
	Aquí puede ver los ocho cubos menores resultantes de la descomposición del cubo principal.

Figura 3

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Preguntas.

(A) ¿Qué obtendremos si cortamos un tetraedro regular, a través de la mitad de sus alturas, con cuatro planos paralelos a sus caras?

(B) ¿Qué obtendremos al cortar un octaedro regular, mediante cuatro planos parelos a sus caras, a través de la mitad de sus alturas?

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Respuestas.

(A) Si razona por analogía que el tetraedro se dividirá en tetraedros menores, y que el octaedro se dividirá en octaedros, está equivocado. La situación es mucho más compleja.

Un tetraedro se dividirá en:

4 tetraedros situados en las cuatro esquinas y un octaedro situado en el medio.

Cada tetraedro tendrá 1/8 del volumen original, mientras que el octaedro tendrá la 1/2 restante volumen.

Véa por qué ésto es cierto.

(B) Un octaedro se dividirá en:

6 octaedros situados en las seis esquinas y 8 tetraedros, uno en la mitad de cada cara.

Cada octaedro tendrá 1/8 del volumen original, sumando todos ellos 3/4 del volumen total.

Cada tetraedro tendrá 1/32 del volumen original, siendo la suma de todos ellos igual al restante 1/4 del volumen total.

Examinémoslo más de cerca.

Aquí hay una animación que muestra las diferentes formas del octaedro (carpeta de gran tamaño).

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Proyecto para la clase

Los estudiantes harán 7 octaedros y 12 tetraedros regulares con cartulina, cada uno con lados de 1 pulgada de longitud. Los modelos se usarán entonces para demostrar las descomposiciones arriba descritas. (Note que, con los mismos lados, el volumen de un tetreadro será 1/4 el del volumen de un ocatedro). Aquí hallará los dibujos esquemáticos para construir los octaedros y los tetraedros. Puede unir estos octaedros y tetraedros con cinta adhesiva.

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