• Dibujar un triángulo equilátero cuyos lados midan, aproximádamente, 9 pulgadas.
• Unir los puntos medios de estos lados, para formar un triángulo central más pequeño, que tendrá ¼ del área. Píntelo ahora de color verde.
• Unir ahora los tres triángulos delineados, conectándolos a través de los puntos medios de sus lados, y creando así tres triángulos menores. Píntelos de color amarillo.
• Ahora tendrá nueve triángulos coloreados; únalos asimismo a través de los puntos medios de sus lados, obteniendo así nueve triángulos centrales, que coloreará en azul.
• Finálmente, cree 27 triángulos pequeños, en medio de los triángulos sin colorear, y píntelos de color rojo.
• Esta es la apariencia de un tapete de Sierpinski, sin colorear. Puede imprimir este dibujo y decir a sus estudiantes que coloreen los triángulos.
• Aquí puede observar un tapete de Sierpinski realizado por un estudiante.
  

• Los verdes ocupan ¼ del área total, quedando otros ¾ .
• Los amarillos cubren ¼ del resto, lo cual es igual a ¼ de ¾, quedando entonces ¾ * ¾ del área total.
• Los de color azul ocupan ¼ de lo que resta, quedando así ¾ * ¾ * ¾ del área total.
• Y los rojos llenan ¼ de los que resta, sobrando ¾ * ¾ * ¾ * ¾ del área total.
  

Por lo tanto, si continuásemos, cubriríamos

¼ + ( ¼ * ¾) + ( ¼ * (¾)²) + ( ¼ * (¾)³) + ... =
¼ * ( 1 + ¾ + (¾)² + (¾)³ + ... )

lo cual es la suma de una progresión geométrica con el factor ¾ multiplicado por ¼.

2. La suma de esta progresión geométrica es igual a 1/(1 - ¾) = 4 (ver abajo). Por lo tanto, el área cubierta será ¼ * 4 = 1, esto es, el área total. Así, habremos coloreado el área completa, incluso si algunos puntos individuales permanencen en blanco.

Nota: El hecho de comenzar con un triángulo equilátero se debe tan sólo a motivos estéticos. Tal resultado será el mismo para cualquier triángulo.

3. Cómo sumar una progresión geómetrica.